در دنیای امروز به دلیل استفاده روزافزون از مواد جدید، سیستم‌های سازه‌ای نامتعارف و طرح‌های باریک و انعطاف‌پذیرتر، دینامیک و تحلیل سازه پیشرفته، اهمیت بیشتری پیدا کرده است. این حوزه مهندسی، رویکردهای مدرن خلاقیت و کارایی معماری را ممکن می‌سازد، اما دینامیک پیچیده‌ای را نیز معرفی میکند که نیازمند تجزیه و تحلیل دقیق برای اطمینان از ایمنی و انعطاف‌پذیری در برابر باد، زلزله و سایر بارهای دینامیکی است. این موضوع کاربرد گسترده ای دارد و نمونه هایی از مهندسی هوانوردی، عمران، زلزله، مکانیک و اقیانوس را به تصویر می کشد، و در برخی مواقع حتی در موضوعات ژئوفیزیک و زلزله شناسی نیز نقش می بندد.
مهندسی دینامیک پیشرفته، درک عمیقی از دینامیک سازه های پیشرفته و مفاهیم واقعی آن ها را در اختیار شما قرار می دهد. این تحلیل کمک می کند تا پویایی های ساختاری و پاسخ های آنها را تحلیل و مدل کنند. شما مفاهیم حیاتی، از سیستم های تک درجه آزادی (SDOF) و چند درجه آزادی (MDOF) گرفته تا پیچیدگی های تجزیه و تحلیل حوزه زمان و فرکانس و همچنین تحلیل مودال را خواهید آموخت. در ادامه این مطلب از آموزشگاه فنی عمده مباحث مورد بررسی در مهندسی دینامیک سازه معرفی و تشریح می شوند
سیستم های یک درجه آزادی
سیستم درجه آزادی منفرد (SDOF) سیستمی است که رفتار مورد نظر را می توان در هر زمان با مقدار یک متغیر حالت واحد مانند جابجایی به طور کامل توصیف کرد. هیچ ساختاری هرگز یک سیستم SDOF نیست، اما این مدل ساده اغلب در بسیاری از موارد عملی برای ارائه یک تخمین معقول از پارامترهای پاسخ جهانی به خوبی جواب می دهد. اقسام روش های تحلیل سیستم های یک درجه آزادی به شرح زیر است:
علاوه بر این، سیستم‌های چند درجه آزادی یا سیستم‌های پیوسته را میتوان به عنوان ترکیبی از سیستم‌های SDOF (یعنی آنالیز مودال) تحلیل کرد. بنابراین، درک ویژگی‌های دینامیکی سیستم‌های SDOF برای برآورد اهمیت اثرات دینامیکی در یک ساختار فیزیکی و ارزیابی نیاز به تحلیل‌های دقیق‌تر و تفسیر مناسب نتایج، ضروری است.
- پرتره فاز: پرتره فاز یک روش جایگزین برای نمایش پاسخ یک سیستم ارتعاشی است. در اصل، پرتره فاز نموداری از سرعت آنی در برابر موقعیت جرم ارتعاشی است. منحنی ها یا مسیرها در این نمودار به عنوان خطوط فاز نامیده می شوند. پرتره فاز به ویژه برای سیستم های غیر خطی مفید است، به ویژه زمانی که راه حل معادله دیفرانسیل حرکت ناشناخته است، یا نمی توان آن را پیدا کرد.
- پشتیبانی از حرکت در سیستم های SDOF: ارزیابی اثرات دینامیکی ناشی از حرکات نقطه تکیه گاه در تحلیل سازه در ارتباط با زلزله بسیار مورد اهمیت است. علاوه بر این برای سایر سیستم های ارتعاشی، مانند اتومبیلی که با سرعتی معین در یک جاده پر دست انداز حرکت می کند، یا کشتی ای بر روی امواج، مورد توجه است.
- طیف پاسخ: طیف پاسخ لرزه ای نموداری است که حداکثر پاسخ یک سیستم SDOF را برای کسری معین از میرایی بحرانی به برخی از تحریکات زلزله نشان می دهد. این نمودار یا به عنوان تابعی از فرکانس طبیعی یا دوره طبیعی آن سیستم ترسیم می شود. کاربرد اصلی طیف‌های پاسخ در طراحی مهندسی نهفته است، زیرا زمانی که یک سازه به عنوان یک سیستم SDOF مدل‌سازی میشود، تمام نیروهای داخلی با پاسخ هماهنگ و متناسب هستند. از این رو، حداکثر مقادیر آن نیروهای داخلی که برای طراحی سازه مورد نیاز است، زمانی حاصل می شود که پاسخ حداکثر باشد. جابجایی طیفی نموداری از حداکثر جابجایی نسبی واقعی برای سیستم SDOF در دست است.
- ویبراتور جرمی غیرعادی: ویبراتور جرمی خارج از مرکز یک دستگاه مکانیکی است که برای القای نیروهای هارمونیک در یک سیستم دینامیکی استفاده می شود. در برخی موارد، ماشین‌هایی که تعادل ناقص دارند، مانند فن‌ها و موتورها، ممکن است به‌عنوان لرزاننده جرم غیرعادی عمل کنند و عامل ایجاد ارتعاشات تصادفی در سیستم‌هایی باشند که از آنها پشتیبانی می‌کنند. لازم به ذکر است که در آن موارد، دستگاه دارای فرکانس کاری ثابت (معمولاً 1800 دور در دقیقه یا 30 هرتز) است که در این حالت، فرکانس ثابت است. یک ویبراتور جرمی ممکن است از دو جرم یکسان تشکیل شده باشد که به طور غیرعادی بر روی چرخ های موازی که در جهت مخالف می چرخند نصب شده اند. دلیل استفاده از دو جرم خارج از مرکز به جای یک جرم، ایجاد نیروی هارمونیک در یک جهت مختصات واحد است.
- اتلاف انرژی از طریق میرایی: نیروهای میرایی در مواد مهندسی و در خاک ناشی از ترکیب چندین مکانیسم اتلاف انرژی است. به طور کلی پذیرفته شده است که بیشتر این اتلاف انرژی از طریق اصطکاک داخلی، رفتار غیرالاستیک غیرخطی یا برخی دیگر از فرآیندهای مواد غیرقابل برگشت صورت می گیرد. در مورد مواد چند فازی، مانند خاک های منسجم و ماسه های اشباع، اتلاف انرژی نیز ممکن است
سیستم های چند درجه آزادی
یک سیستم چند درجه آزادی خطی (MDOF) با میرایی لزج با معادله ماتریس مشخص می شود. انرژی جنبشی نمی تواند صفر باشد مگر اینکه سیستم حرکت نکند یا جرم مرتبط با DOF در حرکت صفر باشد. علاوه بر این، نه انرژی تلف شده و نه انرژی کرنش نمی توانند منفی باشند، زیرا سیستم منبع انرژی نیست و حرکات عموماً شامل تغییر شکل های ساختاری هستند. با این حال، اگر محدودیت‌های پشتیبانی اجازه دهد، هر دو انرژی میتواند صفر باشد، مانند هنگام حرکت بدنه صلب یک هواپیما.
تحلیل چنددرجه آزادی دشوارتر از سیستم های SDOF است، نه تنها به این دلیل که یک معادله ماتریسی است، بلکه به این دلیل که میرایی سیستم معادلات را دشوارتر میکند.
- متغیرهای همگن فیزیکی و مختصات بی بعد: اگر همه درجات آزادی یا بعد فیزیکی یکسانی داشته باشند یا بدون بعد باشند، اصلاح برخی متغیرهای دخیل در یک مشکل ارتعاش میتواند پاسخگو باشد. این روش به ویژه در هنگام حل یک سیستم کوچک مثلاً سیستمی که فقط 2 یا 3 DOF دارد، بهتر خود را نشان میدهد اما در حل سیستم های بزرگتر نیز کاربرد دارد. این مزیت بسیار مهمی دارد که همه ماتریس ها و مقادیر ویژه را می توان به شکل بدون بعد نوشت، یعنی همه ماتریس ها، بردارها و مقادیر ویژه فقط اعداد هستند که معادلات جبری را بسیار ساده می کند.
- اثر بارهای ایستا بر فرکانس های سازه: وقتی می گوییم نیروهای مرتبط با بارهای مرده ماهیت ثابتی دارند؛ کمتر مشهود این واقعیت است که این نیروهای ساکن ممکن است ظرفیت تغییر فرکانس های طبیعی یک ساختمان را داشته باشند. دلیل آن این است که بارهای ثقلی با کاهش ظرفیت آنها برای حمل بارهای جانبی، که دوره های تشدید را طولانی تر می کند، بر پایداری الاستیک سیستم های سازه ای بلند تأثیر می گذارد. از دست دادن سختی ظاهری جانبی ممکن است به ویژه در مورد ساختمان های مرتفع مهم باشد، زیرا ستون ها در ارتفاعات پایین تر باید نیروهای محوری زیادی را تحمل کنند. در حالی که رایج ترین نام گذاری برای این پدیده اثرات Π– Δ است، گاهی اوقات به عنوان اثرات آونگ معکوس نیز شناخته می شود.
- تجزیه و تحلیل دامنه فرکانس سیستم های MDOF: تجزیه و تحلیل سیستم های MDOF در حوزه فرکانس تا حد زیادی شبیه به سیستم های SDOF است و از تکنیک های عددی مشابهی استفاده می شود. با این حال، از آنجا که آنها شامل تعداد بیشتری از DOF هستند، سیستم های MDOF به استفاده از بردارها و ماتریس ها نیاز دارند که تئوری چنین سیستم هایی را پیچیده تر می کند. برای مثال، کار مورد نیاز در برخی از تحلیل‌ها برای یافتن قطب‌ها و صفرهای پیچیده توابع انتقال مستلزم تلاش بسیار بیشتری است.
- ارتعاشات هارمونیک ناشی از گرداب : هنگامی که یک بدنه استوانه‌ای باریک، انعطاف‌پذیر و قابل تحمل ارتعاشات در سیالی قرار میگیرد که با سرعتی ثابت به صورت عرضی به بدن جریان می‌یابد، سیال در سطح مشترک با بدنه گرداب (ورتکس) هایی ایجاد میکند که به سرعت از سطح تماس جدا شده و به پایین دست منتقل می‌شوند. اگر فرکانس گرداب با یکی از فرکانس های طبیعی قابل مقایسه باشد، گرداب ها فشارهای متناوب را ایجاد می کنند که می تواند یک سازه را به شرایط تقریباً تشدید در جهتی عمود بر جریان برانگیزد. ساختار در واقع، ارتعاشات عرضی جریان ناشی از ریزش گرداب ها، اغلب بیشتر از ارتعاشات و تنش ها در جهت جریان، به دلیل نوسانات بیش از حد و یا به دلیل اثرات خستگی، به سازه ها آسیب می رساند، بنابراین این پدیده ای است که باید در نظر گرفته شود. نمونه‌هایی از این حالت، در ساختمان‌های بلند در معرض باد، یا جریان‌های اقیانوسی که باعث ایجاد نوسان در بالابرهای دریایی و سکوهای دریایی میشود، دیده می شوند.
سیستم های پیوسته
ویژگی های ریاضی سیستم های پیوسته: در واقع سیستم های پیوسته گسترش منطقی سیستم های ساختاری گسسته به اجسام مکانیکی با درجه آزادی بی نهایت زیاد (DOF) را تشکیل می دهند. این سیستم ها توسط معادلات غیرقابل حلی اداره می شود که به ندرت می توان آنها را به صورت بسته حل کرد. از این رو، راه‌حل‌های دقیق برای سیستم‌های پیوسته کم هستند. با این حال، این بدان معنا نیست که نمی توان آنها را حل کرد و تجزیه و تحلیل کرد، بلکه به این معناست که در بیشتر موارد باید با کمک ابزارهای عددی میتوان انها را ساده کرد. به عنوان مثال می توان با روش های المان محدود نظیر باقیمانده های وزنی، روش حالت های فرضی (بر اساس معادلات لاگرانژ)، یا مجموعه قدرتمند ابزارهای گسسته آن را تحلیل کرد.
راه حل های دقیق برای سیستم های پیوسته ساده: تعدادی سیستم مکانیکی ساده در نظر گرفته می شود که معادلات آنها را می توان به صورت بسته یا تقریباً حل کرد. ساده ترین آنها، میله ای با سفتی محوری ثابت است. راه حل برای تیرهای برشی همگن با شرایط مرزی مناسب و همچنین میل های استوانه ای که در معرض امواج پیچشی قرار می گیرند، مشابه راه حل های میله ای است که در معرض حرکات محوری قرار می گیرد.
عناصر پیوسته و مبتنی بر موج (عناصر طیفی): بیشتر ساختارهای پیوسته در مهندسی دینامیک سازه، پاسخگوی حل‌های شکل بسته نیستند، اما باید در عوض با استفاده از روشهای عددی، مانند روش اجزای محدود، تحلیل شوند. با این حال، تعداد انگشت شماری از ساختارهای پیوسته وجود دارد که می توان امپدانس دینامیکی دقیق آنها را به دست آورد، که می توان آن را عناصر مبتنی بر موج (یا پیوسته) نامید. این عناصر امکان ارائه راه حل های بسته را برای پیکربندی های ساده یا راه حل های بسیار مؤثر برای سازه های متشکل از چندین مورد از این عناصر پیوسته فراهم می کنند. به عنوان مثال، در مورد سازه‌های یک بعدی مانند میله‌ها و تیرهای خمشی خالص، میتوان DOF فعال را که در آن بارها اعمال میشود و جابه‌جایی‌ها مشاهده میشود، در دو سر سازه تعریف کرد و از طریق یک امپدانس دقیق این موارد را به هم مرتبط کرد. واضح است که این امر مستلزم فرمول بندی مسئله در حوزه فرکانس است.
مبانی انتشار موج
در مبانی انتشار موج، حالت‌های عادی انتشار موج در سیستم‌های ساده مانند میله‌ها و پرتوها بررسی می شود و از آنها برای نشان دادن مفاهیم اساسی انتشار موج، از جمله طیف‌های موج پیچیده استفاده می‌کنیم. همچنین بررسی مختصری از روش ماتریس سختی (SMM) برای سیالات لایه ای ارائه می شود و از آن برای حل مشکلات انتشار موج استفاده می شود. در نهایت، عناصر بنیادی همتای گسسته SMM، روش لایه نازک (TLM) خلاصه میشود، که ابزار قدرتمندی برای به دست آوردن حالت‌های عادی برای امواج در حال انتشار و محو شدن است.
همانطور که مشخص است، هنگامی که یک محیط الاستیک در معرض یک اختلال موضعی قرار می گیرد و سپس به تنهایی رها می شود، تغییر شکل و انرژی های جنبشی ذخیره شده در همسایگی اختلال باعث ایجاد امواجی می شود. از نظر ریاضی، این چیزی را نشان می دهد که معمولاً به عنوان یک مسئله مقدار اولیه، یعنی یک مسئله انتشار موج نامیده می شود. در اصل، یک مسئله مقدار اولیه، مسئله ای است که شامل ارتعاش آزاد یک جسم الاستیک تحت شرایط اولیه در سرعت و جابجایی است، و بنابراین می تواند بر حسب برهم نهی حالت های عادی ارتعاش تفسیر شود. از نظر فیزیکی، چنین حالت‌های عادی را میتوان به‌عنوان امواج ساکن با طول موج ثابت مناسب تفسیر کرد، به طوری که همه شرایط مرزی و تداوم مواد به طور همزمان در همه زمان‌ها برآورده می‌شوند.
روشهای عددی
- حالت های عادی با تکرار معکوس: اگرچه روش‌ها و روال‌های ثابت زیادی برای حل مسائل ویژه در مهندسی دینامیک ساختاری وجود دارد، اما ثابت شده است که تکرار معکوس یا روش Stodola–Vianello بسیار ساده و آسان برای برنامه‌ریزی است. این روش مخصوصاً زمانی راحت است که فقط حالت اساسی یا چند حالت اول پایین تر مورد نظر باشد. با این حال، اگر سیستم دارای مقادیر ویژه مکرر باشد، مانند یک ساختمان با فرکانس های پیچشی و جانبی یکسان، ممکن است از کار بیفتد. با این حال، دلیل اصلی ارائه این ابزار عددی در اینجا، ارزش آموزشی زیاد آن است، که به طور کلی به یادگیری مسائل ارزش ویژه کمک می کند.
- روش وزنی باقیمانده: هدف در این روش ها کاهش سیستم معادلات دیفرانسیل جزئی است که سیستم های پیوسته را مشخص می کند به یک سیستم معادلات دیفرانسیل معمولی. در واقع، ما تلاش می‌کنیم تا سیستم‌های پیوسته را به سیستم‌های گسسته کاهش دهیم – در حالت ایده‌آل، با کمترین تعداد درجه آزادی (DOF)، تا امکان محاسبات دستی فراهم شود.
- سیستم های گسسته از طریق معادلات لاگرانژ: معادلات لاگرانژ ابزار بسیار مناسبی را برای کاهش سیستم‌های پیوسته پیچیده به مدل‌های گسسته با تعداد محدود DOF فراهم میکند که سپس با استفاده از روشهای مرسوم قابل حل هستند. استراتژی مبتنی بر ایجاد مفروضات آموزشی در مورد چگونگی تغییر شکل سیستم است، یعنی استفاده از توابع آزمایشی یا حالت‌های فرضی برای توصیف تغییرات فضایی حرکت. با این حال، بر خلاف باقیمانده های وزنی، استفاده از معادلات لاگرانژ فقط مستلزم این است که توابع آزمایشی شرایط مرزی ضروری را برآورده کنند.
- ادغام عددی در دامنه زمان: به طور کلی، روشهای حل عددی موجود را میتوان به دو کلاس بزرگ، یعنی روشهای حوزه زمان و روشهای حوزه فرکانس، گروه‌بندی کرد. اولی مستقیماً بر روی معادلات حرکت عمل می کند، پاسخ را در گام های زمانی گسسته ارائه می دهد و عموماً ممکن است برای مسائل خطی و غیرخطی استفاده شود. دومی، از سوی دیگر، شامل استفاده از جبر مختلط و استفاده از سری فوریه و تبدیل فوریه است. در حالی که راه‌حل‌های حوزه فرکانس (در اصل) به سیستم‌های خطی محدود می‌شوند، آنها اجازه استفاده از تکنیک‌های عددی قدرتمند، از جمله الگوریتم تبدیل فوریه سریع (FFT) را می‌دهند. همچنین، آنها یک مکانیسم ساده برای مدل سازی میرایی هیسترتیک ارائه می دهند، بنابراین در عمل به طور گسترده ای مورد استفاده قرار می گیرند.
- روش های فوریه: به دنبال توسعه کامپیوترهای دیجیتال کارآمد و به ویژه پس از کشف الگوریتم تبدیل فوریه سریع (FFT) توسط کولی و تاکی در سال 1965، روشهای تبدیل فوریه به‌عنوان ابزاری برای به دست آوردن راه‌حل‌های عددی برای سیستم‌های خطی معادلات دیفرانسیل مورد استفاده گسترده مهندسان و دانشمندان قرار گرفت. در حالی که تئوری ریاضی کاملاً قبل از اختراع رایانه ها توسعه یافته و در دسترس بود، روش ها و اصطلاحات اصلی در استفاده فعلی عمدتاً مدیون مهندسین برق است که از روش های فوریه در زمینه مشکلات نوسانات الکتریکی در مدارها استفاده می کردند. بنابراین، در مهندسی دینامیک سازه مرسوم است که از اصطلاحاتی مانند گذرا برای اشاره به تغییرات موقت در پاسخ دینامیکی ناشی از بارهای اعمال شده ناگهانی یا امپدانس مکانیکی برای اشاره به رابطه بین نیروها و جابجایی ها استفاده شود.
مهندسی زلزله و دینامیک خاک
- فرآیندهای تصادفی در دینامیک خاک: یک فرآیند تصادفی تابعی تصادفی از یک متغیر پیوسته، معمولاً زمان است. به عنوان مثال، تاریخچه زمانی شتاب یک زلزله در یک مکان یک فرآیند تصادفی است زیرا شدت، مدت، محتوای فرکانس و تکامل زمانی آن به پارامترهای غیر قطعی، مانند فاصله تا گسل، ویژگی ها و طول گسیختگی گسل، مسیر حرکت و نوع امواج لرزه ای بستگی دارد. بنابراین، هیچ دو زمین لرزه ای هرگز کاملاً شبیه هم نخواهد بود، حتی زمانی که هر دو با یک گسل مرتبط باشند و دقیقاً در یک ایستگاه و با یک ابزار ثبت شوند. به طور کلی، یک میدان تصادفی یک تابع تصادفی چند بعدی از متغیرهای متعدد مانند مکان مکانی و زمان است. هر فرآیند تصادفی ممکن است دارای مدت زمان محدود یا نامحدود باشد. اگر علاقه مند به یادگیری بیشتری در این حوزه هستید دوره عمران بهترین مرجع برای یادگیری و ورود به بازار کار برای شماست
- زمین لرزه ها و اندازه گیری های قدرت زلزله: همانطور که سطح زمین به تدریج حرکت می کند، تغییر شکل های زمین در پوسته زمین ایجاد می شود و انرژی کرنش به صورت محلی در نزدیکی یک گسل انباشته می شود. هرچه شکست گسل طولانی‌تر باشد، انرژی بیشتری آزاد میشود. هر اندازه‌گیری از اندازه زلزله به طول ناحیه شکستگی و شدت حرکات زمین ثبت‌شده در فاصله‌ای از گسل مربوط میشود. به طور خلاصه، دو روش متداول برای اندازه گیری قدرت زلزله و تأثیر آن بر سازه ها وجود دارد که عبارتند از بزرگی و شدت. بزرگی زلزله یک ویژگی ذاتی هر زمین لرزه است و معیاری از کل انرژی آزاد شده است که به مکانی روی زمین که از آن استنباط می شود بستگی ندارد، اما شدت، توصیفی تجربی از اثرات مشاهده شده بر مردم و انسان ساخته است. ساختارها، بنابراین با فاصله از منبع، شرایط خاک و مانند آن تغییر می کند.
- طیف پاسخ زمینی: طیف پاسخ لرزه ای نموداری است که حداکثر پاسخ سیستم یک درجه آزادی (SDOF) را با کسری از میرایی بحرانی به یک تحریک زلزله معین نشان می دهد. این نمودار یا به عنوان تابعی از فرکانس طبیعی یا دوره طبیعی آن سیستم ترسیم می شود. کاربرد اصلی طیف های پاسخ در طراحی مهندسی دینامیک نهفته است، زیرا زمانی که یک سازه به عنوان یک سیستم SDOF مدل می شود، تمام نیروهای داخلی با پاسخ هماهنگ و متناسب هستند. از این رو، حداکثر مقادیر آن نیروهای داخلی که برای طراحی سازه مورد نیاز است.
اگر شما هم علاقه مند به طراحی در حوزه مهندسی سازه هستید آموزش اتوکد بهترین پیشنهاد ما برای شماست تا مهارت فنی لازم با مدرک بین المللی، جهت ورود به بازار کار را به دست آورید
موضوعات پیشرفته
- تبدیل هیلبرت: تبدیل هیلبرت یک ابزار ریاضی است که ارتباط نزدیکی با نظریه تبدیل فوریه دارد. ک دلایل این که در مهندسی دینامیک سازه پیشرفته به آن توجه می کنیم این است که نقش اساسی در تئوری سیستم های دینامیکی و همچنین در تفسیر فیزیکی میرایی هیسترتیک ایفا می کند.
- اصل تناظر: یک بدنه خطی الاستیک و بدون میرایی را در نظر بگیرید که تحت یک تحریک دینامیکی قرار دارد. ممکن است یک راه حل دقیق از نظر توابع پاسخ تکانه یا فرکانس، همیشه در دسترس نباشد یا حتی امکان پذیر نباشد، اما راه حلی بر اساس دلایل فیزیکی وجود دارد. از نظر مفهومی، این راه حل باید به ویژگی های هندسی (شکل، شرایط مرزی، محل نقاط ورودی و خروجی و غیره) و به پارامترهای مادی بدنه مورد مطالعه بستگی داشته باشد. در مورد بارهای هارمونیک، عملگرهای دیفرانسیل به فاکتورهایی در iω تبدیل می شوند، در این صورت، جایگزینی پارامترهای پیچیده مواد وابسته به فرکانس به جای پارامترهای الاستیک در محلول سیستم بدون میرا کافی است.
- تناظر عددی راه حل های میرایی و میرا نشده: در اصل تناظر، ما میتوانیم محلول ویسکوالاستیک را مستقیماً از محلول الاستیک به مدول های پیچیده در فرمول بدون میرا بدست آوریم. این راه حل زمانی پاسخگو است که یک عبارت تحلیلی برای تابع پاسخ در دسترس داریم. با این حال، در بسیاری از کاربردهای مهندسی، یک راه حل ممکن است فقط به صورت عددی به دست آمده باشد، که توابع پاسخ تنها به عنوان جدول مقادیر یا نمودار شناخته می شوند. به عنوان مثال، انطباق دینامیکی برای پی های صلب که بر روی خاک های الاستیک قرار دارند، معمولاً فقط در قالب عددی گزارش می شوند. برای این حالت روش ربع عددی پیشنهاد شده توسط داسگوپتا و ساکمن مورد استفاده قرار میگیرد، چراکه یک چارچوب ریاضی کلی برای استخراج راه‌حل‌های محیطی با قوانین میرایی دلخواه (یعنی وابستگی فرکانس دلخواه ویسکوزیته) از محلول محیط‌های کاملاً الاستیک ایجاد میکند.
- نیروهای ژیروسکوپی ناشی از حرکات پشتیبانی روتور: عنصر چرخان یک ماشین دوار بزرگ، مانند روتور، به دلیل اثرات ژیروسکوپی، مقاومت ذاتی در برابر تغییر جهت محور چرخش از خود نشان می دهد. بنابراین، هنگامی که این سیستم‌ها در معرض اختلالات دینامیکی خارجی قرار می‌گیرند، اگر تکیه‌گاه‌های محور همزمان حرکت نکنند، نیروهای ژیروسکوپی بزرگی می‌توانند ایجاد شوند. این مشکل با استفاده از یک مدل بسیار ساده شده بررسی با چند پیش فرض تحلیل میشود
- سازه های چرخشی دوره ای: سازه‌های متشکل از n واحد یکسان که به شکل یک چندضلعی منظم به هم متصل شده‌اند، تقارن قطبی را حول محور مشترک نشان می‌دهند. مشخصه ارتعاش چنین سازه هایی را می توان به طور موثر از روی خواص دینامیکی هر یک از واحدهای تشکیل دهنده آن تعیین کرد.
منبع:
https://www.cambridge.org/core/books/advanced-structural-dynamics/9250E04D40493000B3CD0F8F14BE4077
